提示：本文主要讲述行列式的求解方法，所以本文侧重于方法的讲解，而并非推导。主要思路为从三阶行列式举例，再过渡到高阶行列式的通用方法 。

以下是本篇文章正文内容：

▍以三阶行列式为例：

D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| D3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

①将第一、二列平移到行列式右侧 ②如图做出六条斜对角线 ③对角线上的元素相乘，红色相加的和 减去 蓝色相加的和 D 3 = D_3= D3​=

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​

− a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} −a13​a22​a31​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​

对角线法也是三阶行列式计算使用最广泛的方法

▍ 对角线法适用于二、三阶行列式，对于更高阶的行列式暂时未找到规律

▍以三阶行列式为例：

例 ： D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ 例：D_3= \left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| 例：D3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

以 第 一 行 展 开 ， 得 D 3 = 以第一行展开，得D_3= 以第一行展开，得D3​=

= ( − 1 ) 1 + 1 a 11 M 11 + ( − 1 ) 1 + 2 a 12 M 12 + ( − 1 ) 1 + 3 a 13 M 13 =\left( -1 \right) ^{1+1}a_{11}M_{11}+\left( -1 \right) ^{1+2}a_{12}M_{12}+\left( -1 \right) ^{1+3}a_{13}M_{13} =(−1)1+1a11​M11​+(−1)1+2a12​M12​+(−1)1+3a13​M13​

= a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ =a_{11}\left| \begin{matrix} a_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|-a_{12}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\\ \end{matrix} \right|+a_{13}\left| \begin{matrix} a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ \end{matrix} \right| =a11​∣∣∣∣​a22​a32​​a23​a33​​∣∣∣∣​−a12​∣∣∣∣​a21​a31​​a23​a33​​∣∣∣∣​+a13​∣∣∣∣​a21​a31​​a22​a32​​∣∣∣∣​

对于任一行（列）都可进行展开

▍例n阶行列式：

D n = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

以第 i 行展开:

= ( − 1 ) i + 1 a i 1 M i 1 + ( − 1 ) i + 2 a i 2 M i 2 + ⋯ + ( − 1 ) i + n a i n M i n =\left( -1 \right) ^{i+1}a_{i1}M_{i1}+\left( -1 \right) ^{i+2}a_{i2}M_{i2}+\cdots +\left( -1 \right) ^{i+n}a_{in}M_{in} =(−1)i+1ai1​Mi1​+(−1)i+2ai2​Mi2​+⋯+(−1)i+nain​Min​

以第 j 列展开:

= ( − 1 ) 1 + j a 1 j M 1 j + ( − 1 ) 2 + j a 2 j M 2 j + ⋯ + ( − 1 ) n + j a n j M n j =\left( -1 \right) ^{1+j}a_{1j}M_{1j}+\left( -1 \right) ^{2+j}a_{2j}M_{2j}+\cdots +\left( -1 \right) ^{n+j}a_{nj}M_{nj} =(−1)1+ja1j​M1j​+(−1)2+ja2j​M2j​+⋯+(−1)n+janj​Mnj​

例 ： ∣ 0 1 0 2 15 3 1 41 2 ∣ = ( − 1 ) 1 + 2 ∣ 3 2 2 1 ∣ = 1 例： \left| \begin{matrix} 0& 1& 0\\ 2& 15& 3\\ 1& 41& 2\\ \end{matrix} \right|=\left( -1 \right) ^{1+2}\left| \begin{matrix} 3& 2\\ 2& 1\\ \end{matrix} \right|=1 例：∣∣∣∣∣∣​021​11541​032​∣∣∣∣∣∣​=(−1)1+2∣∣∣∣​32​21​∣∣∣∣​=1

本例中，利用代数余子式法能够简便运算

转化法的核心思想是将行列式转化成上三角行列式

直接举例：

D 4 = ∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ D_4=\left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| D4​=∣∣∣∣∣∣∣∣​3111​1311​1131​1113​∣∣∣∣∣∣∣∣​

∣ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 ∣ 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ = r 1 ÷ 6 6 ∣ 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ∣ \left| \begin{matrix} 3& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1+r_2+r_3+r_4}\left| \begin{matrix} 6& 6& 6& 6\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{r_1\div 6}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& 3& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\\ 1& 1& 1& 3\\ \end{matrix} \right| ∣∣∣∣∣∣∣∣​3111​1311​1131​1113​∣∣∣∣∣∣∣∣​r1​+r2​+r3​+r4​ ∣∣∣∣∣∣∣∣​6111​6311​6131​6113​∣∣∣∣∣∣∣∣​r1​÷6 6∣∣∣∣∣∣∣∣​1111​1311​1131​1113​∣∣∣∣∣∣∣∣​

= r 2 − r 1 , r 3 − r 1 , r 4 − r 1 6 ∣ 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 ∣ = 6 × 1 × 2 × 2 × 2 = 48 \xlongequal{r_2-r_1,r_3-r_1,r_4-r_1}6\left| \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ \end{matrix} \right|=6\times1\times 2\times 2\times 2=48 r2​−r1​,r3​−r1​,r4​−r1​ 6∣∣∣∣∣∣∣∣​1000​1200​1020​1002​∣∣∣∣∣∣∣∣​=6×1×2×2×2=48

▍以三阶行列式为例 D 3 = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 D_3=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\\ \end{matrix} \right| =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}} D3​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∑(−1)ta1p1​​a2p2​​a3p3​​

t 为排列  p 1 p 2 p 3  的逆序数 t\text{为排列 }p_1p_2p_3\ \text{的逆序数} t为排列 p1​p2​p3​ 的逆序数

其 中 p 1 、 p 2 、 p 3 ≤3，且各不相同 其中p_1\text{、}p_2\text{、}p_3\text{≤3，且各不相同} 其中p1​、p2​、p3​≤3，且各不相同

▍对于n阶行列式：

D n = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ D_n=\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right| Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

= ∑ ( − 1 ) t a 1 p 1 a 2 p 2 ⋯ a n p n =\sum{\left( -1 \right) ^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}} =∑(−1)ta1p1​​a2p2​​⋯anpn​​

t 为排列  p 1 p 2 ⋯ p n  的逆序数 t\text{为排列 }p_1p_2\cdots p_n\ \text{的逆序数} t为排列 p1​p2​⋯pn​ 的逆序数

其 中 p 1 、 p 2 ⋯ p n ≤n，且各不相同 其中p_1\text{、}p_2\cdots p_n\text{≤n，且各不相同} 其中p1​、p2​⋯pn​≤n，且各不相同

本文讲述了四种行列式的计算方法：

▍其中对角线法，是使用最简单、最广泛的方法

▍代数余子式法和等价转化法，在特定情况下能极大程度上简便运算，但需要读者对行列式进行灵活地观察

▍逆序数法，是一种更加基础的方法，使用起来比较复杂